Question

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，

（1）若在上的最大值為，求實數(shù)的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）b=0；（2）；（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，使得是以（ 為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．

【解析】

試題分析：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

			0
			0		0
			極小值		極大值

由，，，

即最大值為，．        ………………………………5分

（2）由，得．

，且等號不能同時取，，

恒成立，即．      ………………………………7分

令，求導(dǎo)得，，

當時，，從而，

在上為增函數(shù)，，． …………………10分

（3）由條件，，

假設(shè)曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，

不妨設(shè)，則，且．

是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，

， ，

是否存在等價于方程在且時是否有解．   …………………12分

①若時，方程為，化簡得，

此方程無解；

②若時，方程為，即，

設(shè)，則，

顯然，當時，，即在上為增函數(shù)，

的值域為，即，

當時，方程總有解．

對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，使得是以（ 為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．………………16分

考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用

點評：解此類題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數(shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數(shù)學(xué)運算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合.