如圖,已知C、F是以AB為直徑的半圓O上的兩點(diǎn),且CF=CB,過(guò)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線與點(diǎn)D.
(Ⅰ)證明:CD為圓O的切線;
(Ⅱ)若AD=3,AB=4,求AC的長(zhǎng).
分析:(Ⅰ)利用平行線的判定和性質(zhì)定理、切線得出判定定理即可證明;
(Ⅱ)利用相似三角形的性質(zhì)定理即可求出.
解答:(Ⅰ)證明:∵CF=CB,∴∠CAF=∠CAB.
∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,
∴∠CAF=∠ACO,∴AF∥OC.
∵CD⊥AF,∴CD⊥OC.
∴CD為圓O的切線.
(Ⅱ)解:連接BC,由(Ⅰ)知∠CAD=∠CAB.
又∠CDA=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB.
AD
AC
=
AC
AB

∴AC2=AD•AB=12,∴AC=2
3
點(diǎn)評(píng):熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理、切線得出判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
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如圖,已知C、F是以AB為直徑的半圓O上的兩點(diǎn),且CF=CB,過(guò)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線與點(diǎn)D.
(1)證明:CD為圓O的切線;
(2)若AD=3,AB=4,求AC的長(zhǎng).

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