Question

（2013•寶山區(qū)二模）已知橢圓Γ：

x2

12

+

y2

4

=1．
（1）直線AB過橢圓Γ的中心交橢圓于A、B兩點(diǎn)，C是它的右頂點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率為1時，求△ABC的面積；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2與橢圓Γ交于P、Q兩點(diǎn)，且線段PQ的垂直平分線過橢圓Γ與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)D，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意寫出C點(diǎn)坐標(biāo)，直線AB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則S△ABC=

1

2

|OC||y1-y2|，代入數(shù)值即可求得面積；
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)H（x₀，y₀），由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直可得
k_DH•k_PQ=-1，解出即得k值，注意檢驗(yàn)△＞0；

解答：解：（1）依題意，a=2

3

，C(2

3

，0)，直線AB的方程為y=x，
由

x2 12 + y2 4 =1 y=x

，得y=±

3

，
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），∵|OC|=2

3

，
∴S△ABC=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

1

2

×2

3

×2

3

=6；
（2）由

y=kx+2 x2 12 + y2 4 =1

得（3k²+1）x²+12kx=0，△=（12k）²≥0，
依題意，k≠0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)H（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

-6k

3k2+1

，y0=kx0+2=

2

3k2+1

，D（0，-2），
由k_DH•k_PQ=-1，得

2 3k2+1 +2

- 6k 3k2+1

•k=-1，解得k=±

3

3

．
所以實(shí)數(shù)k的值為±

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、三角形面積公式，韋達(dá)定理、判別式是解決該類題目的常用知識，要熟練掌握．