Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)有 ．
（1）證明f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
（2）解不等式：；
（3）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=＞0，由此能夠證明f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
（2）由f（x）是奇函數(shù)和（1）的結(jié)論知f（x）在上[-1，1]是減函數(shù)，所以，由此能求出不等式的解集．
（3）由f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，知要使f（x）≤t²-2at+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，所以，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答：證明：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知 ＜0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
解：（2）∵f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，
故有，
解得，或，
∴
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
且f（1）=1，故對x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
∴，
解得：t≤-2或t≥2或t=0．
點(diǎn)評：本題考函數(shù)的恒成立的應(yīng)用，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．