Question

已知，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C，它的長軸長為4，短軸長為2

2

．
（1）求該橢圓C的離心率；
（2）若M，N是橢圓C上的不同二點，滿足直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，且

OP

=

OM

+2

ON

，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓

分析：（1）由已知得

2a=4 2b=2 2

，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）橢圓的標準方程為x²+2y²=4，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），動點P（x，y），則x12+2y12=4，x22+2y22=4，

x=x1+2x2 y=y1+2y2

，從而x2+2y2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=20+4（x₁x₂+y₁y₂），由k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，得x₁x₂=-2y₁y₂，由此能求出動點P的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C，它的長軸長為4，短軸長為2

2

．
∴

2a=4 2b=2 2

，解得a=2，b=

2

，
∴c=

4-2

=

2

，
∴該橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

．
（2）由（1）知橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1，即x²+2y²=4，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），動點P（x，y），
則x12+2y12=4，①
x22+2y22=4，②
又∵

OP

2=

OM

+2

ON

，
∴

x=x1+2x2 y=y1+2y2

，③
由①②③，得：
x2+2y2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4（x₁x₂+y₁y₂），④
由k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，得x₁x₂=-2y₁y₂，⑤
將⑤代入④，得x²+2y²=20．
∴所求的動點P的軌跡方程為x²+2y²=20．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查動點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．