Question

（2012•信陽(yáng)模擬）已知x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-

3

x

，試問(wèn)過(guò)點(diǎn)（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，得f′（1）=0，由此能求出b．
（II）由f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＜0，得

2x2+x-3

x2

＜0，再結(jié)合函數(shù)的定義域能求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（III）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，5）與曲線g（x）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），故2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），由此能夠推導(dǎo)出過(guò)點(diǎn)（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．

解答：解：（Ⅰ）∵x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，
f′（x）=2-

b

x2

+

1

x

，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＜0，
得

2x2+x-3

x2

＜0，∴-

3

2

＜x＜1，
又∵x＞0（定義域），
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，1]．
（III）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，
設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，5）與曲線g（x）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∴

y0-5

x0-2

=g′(x0)，
即2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴l(xiāng)nx₀+

2

x0

-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴l(xiāng)nx₀+

2

x0

-2=0，
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
h′(x)=

1

x

-

2

x2

=0，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0，
∴h（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴過(guò)點(diǎn)（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法、求函數(shù)的減區(qū)間、判斷過(guò)點(diǎn)（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．