Question

（理）已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

100

+

y2

64

=1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=

π

3

，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得a=10，b=8，c=6，利用橢圓的定義與余弦定理即可求得|PF₁|•|PF₂|=

256

3

，再利用正弦定理即可求得△F₁PF₂的面積．

解答：解：依題意，作圖如下：

∵a=10，b=8，故c=

a2-b2

=6，
即|PF₁|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=2c=12，
又∠F₁PF₂=

π

3

，
∴由余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|，
∴|PF₁|•|PF₂|=

256

3

，
∴S△F1PF2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=

1

2

×

256

3

×

3

2

=

64 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查橢圓的定義及余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．