Question

過點P（1，0）作曲線C：y=x²（x＞0）的切線，切點為M₁，設點M₁在x軸上的投影是點P₁，又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設點M₂在x軸上的投影是點P₂，…依此下去，得到點列P₁，P₂，P₃，…，記它們的橫坐標a₁，a₂，a₃，…構成數列{a_n}．
（Ⅰ）求a_n與a_n-1（n≥2）的關系式；
（Ⅱ）令bn=

n

an

，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得，y′=2x，于是可求曲線C在點M_n（a_n，

a

2 n

）處的切線方程為y=2a_n（x-a_n）+

a

2 n

，當n=1時，切線過點P（1，0），解得a₁=2；當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），從而可得a_n與a_n-1（n≥2）的關系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ，而b_n=

n

2n

，S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用錯位相減法即可求得數列{b_n}的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）對y=x²求導，得y′=2x，
∴曲線C在點M_n（a_n，

a

2 n

）處的切線方程是y=2a_n（x-a_n）+

a

2 n

，由已知得a_n＞0，
當n=1時，切線過點P（1，0），
∴2a₁（1-a₁）+

a

2 1

=0，解得a₁=2；
當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），
同理可得得a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是首項a₁=2，公比q=2的等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ，b_n=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，
∴

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②，
①-②得：

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

n+2

2n

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查等比數列關系的確定及通項公式的應用，突出考查錯位相減法求和，屬于中檔題．