Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，S_n=n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設{

1

Sn

}的前n項和為T_n，求證T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用公式a_n=S_n-S_n-1（n≥2），得當n≥2時a_n=2n，再驗證n=1時，a₁=2×1=2也適合，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）裂項得

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，由此可得前n項和為T_n=1-

1

n+1

＜1，再結合

1

n+1

∈（0，1），不難得到T_n＜1對于一切正整數(shù)n均成立．

解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
∵n=1時，a₁=2×1=2，也適合
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2n．
（2）

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴{

1

Sn

}的前n項和為T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

∵0＜

1

n+1

＜1
∴1-

1

n+1

∈（0，1），即T_n＜1對于一切正整數(shù)n均成立．

點評：本題給出等差數(shù)列模型，求數(shù)列的通項并求前n項和對應數(shù)列的倒數(shù)和，著重考查了等差數(shù)列的通項與前n項和、數(shù)列與不等式的綜合等知識，屬于中檔題．