【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1存在點D,使得AD⊥A1B,并求的值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】把平面與平面垂直轉化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直,依據(jù)相關判定定理轉化為證明直線和直線垂直.求二面角,往往利用“作——證——求”的思路完成,作二面角是常常利用直線和平面垂直.第(Ⅲ)題,求解有難度,可以空間向量完成.
(Ⅰ)因為為正方形,所以.
因為平面ABC⊥平面AA1C1C,,且平面ABC平面AA1C1C ,
所以⊥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ⊥AC, ⊥AB.
由題意知,所以.
如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,則.
設平面的法向量為,則即
令,則,所以.
同理可得,平面的法向量為.
所以.
由題知二面角A1-BC1-B1為銳角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.
(Ⅲ)設是直線上的一點,且.
所以,解得,所以.
由,即,解得.
因為,所以在線段上存在點D,使得,此時.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若不等式f(x)≤0恒成立,則 的最小值為 .
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【題目】已知 ,若,且的圖象相鄰的對稱軸間的距離不小于.
(1)求的取值范圍.
(2)若當取最大值時, ,且在中, 分別是角的對邊,其面積,求周長的最小值.
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【題目】若數(shù)列對任意滿足,下面給出關于數(shù)列的四個命題:①可以是等差數(shù)列,②可以是等比數(shù)列;③可以既是等差又是等比數(shù)列;④可以既不是等差又不是等比數(shù)列;則上述命題中,正確的個數(shù)為( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,焦點在x軸上的橢圓C: =1經(jīng)過點(b,2e),其中e為橢圓C的離心率.過點T(1,0)作斜率為k(k>0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(A在x軸下方).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M,N,求 的值;
(3)記直線l與y軸的交點為P.若 = ,求直線l的斜率k.
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【題目】給定數(shù)列{cn},如果存在常數(shù)p、q使得cn+1=pcn+q對任意n∈N*都成立,則稱{cn}為“M類數(shù)列”.
(1)若{an}是公差為d的等差數(shù)列,判斷{an}是否為“M類數(shù)列”,并說明理由;
(2)若{an}是“M類數(shù)列”且滿足:a1=2,an+an+1=32n.
①求a2、a3的值及{an}的通項公式;
②設數(shù)列{bn}滿足:對任意的正整數(shù)n,都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6,且集合M={n|≥λ,n∈N*}中有且僅有3個元素,試求實數(shù)λ的取值范圍.
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【題目】設a,b∈R.若直線l:ax+y﹣7=0在矩陣A= 對應的變換作用下,得到的直線為l′:9x+y﹣91=0.求實數(shù)a,b的值.
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【題目】高三年級有500名學生,為了了解數(shù)學科的學習情況,現(xiàn)從中隨機抽出若干名學生在一次測試中的數(shù)學成績,制成如下頻率分布表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
12 | ||
4 | ||
合計 |
根據(jù)上面圖表,求處的數(shù)值
在所給的坐標系中畫出的頻率分布直方圖;
根據(jù)題中信息估計總體平均數(shù),并估計總體落在中的概率.
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【題目】拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質,如:若拋物線的弦過焦點,則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上.設拋物線 >,弦AB過焦點,△ABQ為其阿基米德三角形,則△ABQ的面積的最小值為
A. B. C. D.
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