已知直角梯形中， ， 過(guò) 作，垂足為，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折疊使二面 角的平面角的正切值為.

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成的角的余弦值；

（3）求二面角的大小．

（1）見(jiàn)解析（2）（3）


解析:

（1）取中點(diǎn)，連接，， 又為中點(diǎn)

， 平面，平面， ，  同理可證  ， 平面， 平面平面，  平面 平面．

（2）延長(zhǎng)，過(guò)作垂直直線于，易證平面，，，二面角的平面角的正切值為，∴

∵，∴， ，過(guò)點(diǎn)做，以為原點(diǎn)，以射線分別為的正方向建立直角坐標(biāo)系（如圖）

則，， ，，，，，．

，  ，      

∴異面直線與所成的角余弦值為．

（3）取中點(diǎn)，易證平面，所以面一個(gè)法向量為 

， ，設(shè)平面的法向量為

則，

取得得平面的一個(gè)法向量為∴ 

∴二面角的大小為．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直角梯形中, ,過(guò) 作,垂足為,的中點(diǎn),現(xiàn)將沿折疊,使得.

(1) 求證：；

(2) 求證：；

（3）線段上找一點(diǎn),使得面面,并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年浙江省五校高三下學(xué)期第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知直角梯形中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側(cè)．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年江西省高三適應(yīng)性考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知直角梯形中,

過(guò)作,垂足為,的中點(diǎn),現(xiàn)將沿折疊,使得，

（1）求證：；

（2）設(shè)四棱錐D-ABCE的體積為V，其外接球體積為，求V的值.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年江西省高三聯(lián)合考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

  （本小題滿分12分）

已知直角梯形中, ,過(guò)作

,垂足為,的中點(diǎn),現(xiàn)將沿折疊,使得.

（1）求證：；

（2）設(shè)四棱錐D-ABCE的體積為V，其外接球體積為，求V的值.

 

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