高考數(shù)學(xué)考試中共有12道選擇題,每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)是正確的.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:“在每小題給出的上個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,答對(duì)得5分,不答或答錯(cuò)得0分”.某考生每道選擇都選出一個(gè)答案,能確定其中有8道題的答案是正確的,而其余題中,有兩道題都可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的,有一道題可能判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,還有一道題因不理解題意只能亂猜.試求出該考生的選擇題:
(1)得40分的概率;
(2)得多少分的概率最大?
(3)所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望.
分析:(1)由題意知要得40分,就是除能確定做對(duì)的8道題之外,其余4題全部做錯(cuò).在其余的四道題中,有兩道題答對(duì)的概率為
1
2
,有一道題答對(duì)的概率為
2
3
,還有一道題答對(duì)的概率為
3
4
,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,得到結(jié)果.
(2)該考生選擇題得分的可能取值有:40,45,50,55,60共五種,得分為40,表示只做對(duì)有把握的那8道題,其余各題都做錯(cuò),
得分為45時(shí),有三種可能,這三種情況是互斥的,以此類推,做出概率.
(3)由題意知變量的可能取值分別是40,45,50,55,60,根據(jù)第二問做出的結(jié)果,寫出離散型隨機(jī)變量的分布列,做出期望.
解答:解:(1)要得40分,就是除能確定做對(duì)的8道題之外,其余4題全部做錯(cuò).
在其余的四道題中,有兩道題答對(duì)的概率為
1
2
,
有一道題答對(duì)的概率為
2
3
,還有一道題答對(duì)的概率為
3
4
,
∴他做選擇題得40分的概率為:P=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8

(2)依題意,該考生選擇題得分的可能取值有:40,45,50,55,60共五種
得分為40,表示只做對(duì)有把握的那8道題,其余各題都做錯(cuò),
于是其概率為:P1=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
6
48

類似的,可知得分為45分的概率:P2=
C
1
2
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48
;
得分為50的概率:P3=
17
48

得分為55的概率:P4=
7
48
;
得分為60的概率:P5=
1
48

∴該生選擇題得分為45分或50分的可能性最大.
(3)由(2)可知ξ的分布列為:精英家教網(wǎng)
Eξ=40×
6
48
+45×
7
48
+50×
17
48
+55×
7
48
+60×
1
48
=
575
12
點(diǎn)評(píng):本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查互斥事件的概率,考查學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,是一個(gè)綜合題目.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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