Question

已知二次函數(shù)在處取得極值，且在點(diǎn)處的切線與直線平行． 
(1）求的解析式；      (2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及極值；
(3）求函數(shù)在的最值.

Answer 1

解： (1) .     
(2) 有極小值為0.   在有極大值.           
（3）由及（2），得，函數(shù)的最大值為2，最小值為0.

本題考查導(dǎo)數(shù)在求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答
（1）由f（x）=ax²+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在（0，-3）點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行，知 f^′(1)=2a+b=0，f^′(0)=b=-2
，由此能求出f（x）．（2）由f（x）=x²-2x-3，知g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得x₁= ，x₂=1．列表討論能求出函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值．
（3）由g（0）=0，g（2）=2，結(jié)合（2）的結(jié)論，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．