Question

已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），給出以下命題：
①函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)；            
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（k，0）（k∈Z）對(duì)稱；
④若函數(shù)f（x）是（0，1）上的增函數(shù)，則f（x）是（3，5）上的增函數(shù)，其中正確命題有

①③

．

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），對(duì)該函數(shù)的周期性、對(duì)稱性及單調(diào)性進(jìn)行分析，即可判斷①②③④中的正誤．

解答：解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）=f（x+2），
∴①函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，即①正確；
又f（x）=-f（-x），
∴f（x+1）=f（x-1）=-f（1-x）≠f（1-x），
∴函數(shù)f（x）的圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；
又f（x）=f（x+2k），
∴f（x-k）=f（x+k）=-f（k-x），
∴f（k+x）=-f（k-x），
∴f（x）關(guān)于點(diǎn)（k，0）對(duì)稱，即③正確；
對(duì)于④，∵f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，又函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∴f（x）在（1，2）單調(diào)遞增，f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，但不能確定f（x）在（1，3）的單調(diào)性．
由上面的分析可得，f（x）在（3，5）的單調(diào)性與（1，3）的單調(diào)性相同，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，①③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性及單調(diào)性，考查綜合分析、轉(zhuǎn)化、解決問題的能力，屬于難題．