Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）和動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且存在正常數(shù)m，使得|PA|•|PB|cos²θ=m．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=x+1與曲線C相交于兩點(diǎn)E、F，且與y軸的交點(diǎn)為D．若

DE

=(2+

3

)

DF

，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，由此推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為兩焦點(diǎn)的橢圓，從而求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）由

y=x+1 x2 1+m + y2 m =1

，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由題設(shè)條件知D（0，1），由此入手能夠求出m．

解答：解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∵|AB|=2，|PA|•|PB|cos²θ=m，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）²-4m，
∴|PA|+|PB|=2

1+m

＞2=|AB|，
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為兩焦點(diǎn)的橢圓，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

1+m

+

y2

m

=1．
（Ⅱ）由

y=x+1 x2 1+m + y2 m =1

，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，（*）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由題設(shè)條件知D（0，1），
則x1+x2=

-2(m+1)

2m+1

，①
 x1•x2=

1-m2

2m+1

，②
∵

DE

=(2+

3

)

DF

，∴（x₁，y₁-1）=（2+

3

）（x₂，y₂-1），
∴x1=(2+

3

)x2，③
 將③代入①，②得

(3+ 3 )x2= -2(m+1) 2m+1 (2+ 3 )x22= 1-m2 2m+1

，
∵m＞0，∴m=

1

2

，
代入（*）方程△＞0，故m=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題．一般是直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和與兩根之積的關(guān)系式，再結(jié)合題中所給條件解題．