Question

2．設P，Q是復平面上的點集，P={z||z-3i|=4}，Q={ω|ω=2iz，z∈P}．
（1）P，Q分別表示什么曲線（指出形狀、位置、大小）？
（2）設z₁∈P，z₂∈Q，求|z₁-z₂|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）設出復數(shù)z，代入||z-3i|=4可得P所表示的曲線，設出復數(shù)ω，z，由ω=2iz可得兩復數(shù)實部和虛部的關系，再代入P可得Q所表示的曲線；
（2）由兩圓的位置關系求得兩圓上動點距離的最大值與最小值．

解答 解：（1）設z=x+yi（x，y∈R），則由|z-3i|=4，得$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=4$，即x²+（y-3）²=16．
P表示以（0，3）為圓心，4為半徑的圓；
設ω=x₁+y₁i（x₁，y₁∈R），z=x₀+y₀i∈p，（x₀，y₀∈R），且ω=2iz，
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=-2{y_0}}\\{{y_1}=2{x_0}}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{2}{y}_{1}}\\{{y}_{0}=-\frac{1}{2}{x}_{1}}\end{array}\right.$，代入${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-3）^{2}=16$，得$（{x}_{1}+6）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=64$，
故Q表示以（-6，0）為圓心，8為半徑的圓．
（2）|z₁-z₂|表示分別在圓P，Q上的兩個動點間的距離．
又圓心距離$8-4＜|PQ|=3\sqrt{5}＜8+4$，
∴|z₁-z₂|的最大值為$12+3\sqrt{5}$，最小值為0．

點評 本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了兩圓間的位置關系，是中檔題．