Question

已知定義在I上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足0＜f'（x）＜2且f'（x）≠1，常數(shù)C₁是方程f（x）-x=0的實根，常數(shù)C₂是方程f（x）-2x=0的實根．
（1）若對任意[a，b]⊆I，存在x_o∈（a，b）使等式

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)成立．證明：方程f（x）-x=0有且只有一個實根；
（2）求證：當(dāng)x＞c₂時，總有f（x）＜2x；
（3）若|x₁-c₁|＜1，|x₂-c₁|＜1，求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)方程f（x）-x=0存在另一根，則利用條件可得出矛盾；（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-2x，可得F（x）在（c₂，+∞）單調(diào)遞減，從而可證；（3）不妨設(shè)x₁≤x₂，①當(dāng)x₁=x₂時，顯然成立．②當(dāng)x₁＜x₂時，利用（Ⅱ）的結(jié)論可證．

解答：證明：（1）假設(shè)存在另一根m（m≠c₁）即f（m）=m，f（c₁）=c₁，則

f(m)-f(c1)

m-c1

=

m-c1

m-c1

=1，與

f(m)-f(c1)

m-c1

=f’（x₀）≠1矛盾，所以假設(shè)錯誤，原命題結(jié)論正確．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-2x，則F’（x）=f’（x）-2＜0，∴F（x）在（c₂，+∞）單調(diào)遞減，
∴F（x）＜F（c₂）=f（c₂）-2c₂=0∴f（x）＜2x
（3）不妨設(shè)x₁≤x₂，①當(dāng)x₁=x₂時，顯然成立．
②當(dāng)x₁＜x₂時，由（Ⅱ）知f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＞2x₁-2x₂
又∵f’（x）＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|=2|x₂-c₁-（x₁-c₁）|≤2|x₂-c₁|+2|x₁-c₁|≤2+2=4，
所以|f（x₂）-f（x₁）|≤4．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與不等式的綜合，考查構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，有一定的綜合性．