Question

（2012•浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移

π

4

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=1的解．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)f（x）的解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），求出x的范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)平移規(guī)律“左加右減”，由f（x）的解析式得到向右平移2個單位后的解析式g（x），令g（x）=1，得到sin（2x-

π

4

）=0，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出x的值，即為方程g（x）=1的解．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（2）由已知得：g（x）=

2

sin[2（x-

π

4

）+

π

4

]+1=

2

sin（2x-

π

4

），
由g（x）=1得：

2

sin（2x-

π

4

）=0，
∴2x-

π

4

=kπ（k∈Z），
則x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)平移的規(guī)律，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．