Question

已知m，t∈R，函數(shù)f （x） =（x - t）³+m．

（I）當(dāng)t =1時(shí)，

（i）若f （1） =1，求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；

（ii）若關(guān)于x的不等式f （x）≥x³—1在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍；

（Ⅱ）已知曲線y= f （x）在其圖象上的兩點(diǎn)A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）處的切線分別為l₁、l₂．若直線l₁與l₂平行，試探究點(diǎn)A與點(diǎn)B的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（Ⅰ）（i）因?yàn)?sub>，所以，       1分

則， 而恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．   4分

（ii）不等式在區(qū)間上有解，

即  不等式在區(qū)間上有解，

即  不等式在區(qū)間上有解，

等價(jià)于在區(qū)間上的最小值，                                6分

因?yàn)?sub>時(shí)，，

所以的取值范圍是．                         9分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>的對(duì)稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè)，若直線與平行，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．   10分

對(duì)猜想證明如下：

因?yàn)?sub>

所以

所以，，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因?yàn)?sub>，

所以，，                                 12分

從而，

所以．

又由上

所以點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（對(duì)稱．

故直線與平行時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．   14分