Question

設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a＞1．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)的為原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)的為原函數(shù)的減區(qū)間，即可求f（x）的單調(diào)性；
（2）由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，所以須滿足最小值大于0，解不等式組即可求a的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），（2分）
由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，
令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，（5分）
故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，2a）上是減函數(shù)．（6分）
（2）由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．（7分）
=，f（0）=24a．（9分）
則即解得1＜a＜6，
故a的取值范圍是（1，6）．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)恒成立問題，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，也是高考�？碱}型．