Question

已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=1-x²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上單調，直接寫出實數(shù)a的取值范圍．（不必寫出演算過程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質可得f（0）=0，再設x＜0，根據(jù)函數(shù)的表達式結合函數(shù)為奇函數(shù)的性質得f（x）=-f（-x）=x²-1，最后綜合可得函數(shù)f（x）的表達式；
（2）當x＞0時，函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側，當x＜0時，函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側，并且f（0）=0，由此可得函數(shù)圖象如圖；
（3）對照（2）的函數(shù)圖象，可得當[a，a+1]?（-∞，0）時或當[a，a+1]?（0，+∞）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是單調函數(shù)，解之即得a的取值范圍．

解答：（1）1°因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以x=0時，f（0）=0--------------（2分）
2°設x＜0，則-x＞0，根據(jù)當x＞0時，f（x）=1-x²，得f（-x）=1-（-x）²=1-x²
∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=x²-1----------（4分）
綜上：f(x)=

1-x2，x＞0 0   ，x=0 x2-1，x＜0

 ------------5分
（2）當x＞0時，函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側，當x＜0時，函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側，
并且f（0）=0，由此可得函數(shù)圖象如右圖------------------（10分）
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)圖象，可得當[a，a+1]?（-∞，0）時，函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是減函數(shù)；
當[a，a+1]?（0，+∞）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是增函數(shù)．
解之得：a＜-1或a＞0----------（15分）

點評：本題以二次函數(shù)和分段函數(shù)為例，著重考查了函數(shù)奇偶性的性質和奇偶性與單調性的綜合等知識點，屬于基礎題．