Question

（分）對(duì)于元集合，若元集，

滿足：，且，則稱是集的一個(gè)“等和劃分”（與算是同一個(gè)劃分）．試確定集共有多少個(gè)“等和劃分”．

Answer 1

法一：不妨設(shè)，由于當(dāng)集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個(gè)數(shù)，設(shè)，為最大數(shù)，由，則
，，于是 ，
故中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)．
、若中有個(gè)奇數(shù)，因中的六個(gè)奇數(shù)之和為，而，則
，這時(shí)得到唯一的；
、若中有個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)；用表示中這兩個(gè)偶數(shù)之和；表示中這三個(gè)奇數(shù)之和，則，于是．共得的種情形．其中，
、當(dāng)，則，，；可搭配成的個(gè)情形；
、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；
、當(dāng)，則，，，可搭配成的個(gè)情形；
、當(dāng)，則，，，可搭配成的個(gè)情形；
、當(dāng)，則，，可搭配成的個(gè)情形；
、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；
、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形．
、若中有一個(gè)奇數(shù)、四個(gè)偶數(shù)，由于中除外，其余的五個(gè)偶數(shù)和，從中去掉一個(gè)偶數(shù)，補(bǔ)加一個(gè)奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個(gè)情形：．
綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“等和劃分”．
法二：元素交換法，顯然，恒設(shè)；
、首先注意極端情況的一個(gè)分劃：，顯然數(shù)組與中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中；
以下考慮兩數(shù)至少一個(gè)不在中的情況，為此，考慮中個(gè)數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換：
、；；；
；共得到個(gè)對(duì)換；
、；；；
；；共得到個(gè)對(duì)換；
、；；；
；；
；共得到個(gè)對(duì)換．每個(gè)對(duì)換都得到一個(gè)新的劃分，因此，本題共得種等和劃分．