已知?jiǎng)又本�與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且△的面積=，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）證明和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）證明詳見解析；（2）；（3）不存在點(diǎn)滿足要求.

解析試題分析：（1）先檢驗(yàn)直線斜率不存在的情況，后假設(shè)直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設(shè)存在，使得，由（1）得，，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出直線的方程，從而得到結(jié)論.
試題解析：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/86/1/ctolk.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，因此  ①
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/1b/1/1fpxa3.png" style="vertical-align:middle;" />所以②
由①、②得，此時(shí)     2分
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為
由題意知，將其代入，得
其中即 （*）
又
所以
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為
所以

又，整理得，且符合（*）式
此時(shí)

綜上所述，結(jié)論成立         5分
（2）解法一：
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（I）知
因此               6分
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知

所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立
綜合（1）（2）得的最大值為             9分
解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/64/0/h0wbp.png" style="vertical-align:middle;" />

所以
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
因此的最大值為                   9分
（3）橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于E、G兩點(diǎn)，且△EGF2的周長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足＋＝t (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|－|＜時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn),求證: .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

拋物線在點(diǎn)，處的切線垂直相交于點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)的距離；
（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點(diǎn)的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，.
（Ⅰ）若（點(diǎn)在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y＝上到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案