Question

下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）
①?x₀∈R，使得sinx+cosx=2．
②銳角△ABC中，恒有tanAtanB＞1．
③?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0成立的充要條件為：-4＜a＜0．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用輔助角公式可知sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，從而可知①錯(cuò)誤；
②△ABC為銳角三角形，利用兩角和的余弦可推得sinAsinB＞cosAcosB，繼而可得tanAtanB＞1，從而可判斷②正確；
③由?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0恒成立，可求得-4＜a≤0，于是可知③錯(cuò)誤．

解答： 解：①∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，故不存在x₀∈R，使得sinx+cosx=2，①錯(cuò)誤；
②∵△ABC為銳角三角形，cosA＞0，cosB＞0，且cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB＞0，
∴sinAsinB＞cosAcosB，整理得：tanAtanB＞1，故②正確；
③?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0恒成立，
∴當(dāng)a=0時(shí)，-1＜0恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，

a＜0 (-a)2-4a×(-1)＜0

，解得：-4＜a＜0；
綜上所述，?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0成立的充要條件為：-4＜a≤0，故③錯(cuò)誤．
∴命題中真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查輔助角公式的應(yīng)用、恒成立問(wèn)題及兩角和的余弦，屬于中檔題．