已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，右焦點F也是拋物線y2=4x的焦點．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l與C相交于A、B兩點，若
AF
=2
FB
，求直線l的方程．
分析：（1）根據(jù)拋物線的方程與焦點坐標(biāo)的關(guān)系求出橢圓的右焦點F，得到橢圓的參數(shù)c的值，利用橢圓的離心率公式求出橢圓中的參數(shù)a，根據(jù)橢圓中的三個參數(shù)的關(guān)系求出b，代入橢圓的方程，求出橢圓方程．
（2）先檢驗直線的斜率非零，設(shè)出兩個交點A，B的坐標(biāo)，由已知的向量關(guān)系得到兩個交點坐標(biāo)間的關(guān)系，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，據(jù)韋達(dá)定理得到兩個交點坐標(biāo)的關(guān)系，聯(lián)立幾個關(guān)于坐標(biāo)的等式，求出m的值即得到直線的方程．
解答：解：（1）根據(jù)F（1，0），即c=1，
據(jù)
c
a
=
3
3
得a=
3
，
故b=
2
，
所以所求的橢圓方程是
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率為0時，檢驗知
AF
≠2
FB
．
設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），
根據(jù)
AF
=2
FB
得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2）得y1=-2y2．
設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程得（2m2+3）y2+4my-4=0，
故y1+y2=-
4m
2m2+3
，y1•y2=-
4
2m2+3
，
得y1= -
8m
2m2+3
 ，y2= 
4m
2m2+3
，
代入y1•y2=-
4
2m2+3
得
( -
8m
2m2+3
)(
4m
2m2+3
)= -
4
2m2+3
，即
8m2
2m2+3
 =1，
解得m=±
2
2
，
故直線l的方程是x=±
2
2
y+1．
點評：求圓錐曲線的方程時，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，一般采用的方法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于某個未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理來找突破口．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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