Question

關于x的不等式（sinx+1）|sinx-m|+

1

2

≥m對x∈[0，

π

2

]恒成立，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：通過對m范圍的討論，去掉絕對值符號，通過構造函數，利用函數性質解決恒成立問題，即可求得實數m的取值范圍．

解答： 解：∵x∈[0，

π

2

]，
∴sinx∈[0，1]，
當m＞1時，原不等式可化為：（sinx+1）（m-sinx）+

1

2

≥m，
整理得：msinx-sin²x-sinx+

1

2

≥0恒成立；
令sinx=t（0≤t≤1），
g（t）=-t²+（m-1）t+

1

2

，
要使g（t）=-t²+（m-1）t+

1

2

≥0（0≤t≤1）恒成立，
必須

g(0)≥0 g(1)≥0

，即

1 2 ≥0 -2+m+ 1 2 ≥0

，
解得m≥

3

2

；①
當m＜0時，原不等式可化為：（sinx+1）（sinx-m）+

1

2

≥m，
整理得：sin²x-（m-1）sinx-2m+

1

2

≥0，
令h（t）=t²-（m-1）t-2m+

1

2

≥0（0≤t≤1），
要使t²-（m-1）t-2m+

1

2

≥0（0≤t≤1）恒成立，
應有

h(0)≥0 h(1)≥0

，解得：m≤

1

4

，
∴m＜0；②
當0≤m≤1時，（sinx+1）|sinx-m|+

1

2

≥m對x∈[0，

π

2

]恒成立?m≤（sinx+1）|sinx-m|+

1

2

恒成立，
令t（x）=（sinx+1）|sinx-m|+

1

2

，
m≤t（x）_min，當sinx=m時，t（x）_min=

1

2

，
∴m≤

1

2

，又0≤m≤1，
∴0≤m≤

1

2

；③
由①②③得：m≤

1

2

或m≥

3

2

，
∴實數m的取值范圍是：（-∞，

1

2

]∪[

3

2

，+∞）．
故答案為：（-∞，

1

2

]∪[

3

2

，+∞）．

點評：本題考查三角函數的最值，考查等價轉化思想、分類討論思想、構造函數思想與函數方程思想的綜合運用，考查恒成立問題，屬于難題．