Question

9．如圖，四邊形ABCD為矩形，PB=2，BC=3，PA⊥平面ABCD．
（1）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）當(dāng)AB的長為多少時，點B到平面ACD的距離為$\frac{3}{2}$？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明：AB⊥平面PAD，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，AB∥CD，得到CD⊥平面PAD，即可證明平面PCD⊥平面PAD；
（2）利用等體積方法，即可求解．

解答 （1）證明：∵四邊形為矩形，∴AB⊥AD
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB
∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD
∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD
∴CD⊥平面PAD
又因為CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…（6分）
（2）解：設(shè)AB=x，則CD=x，PA=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，PC=$\sqrt{13}$，PD=$\sqrt{13-{x}^{2}}$
∴V_B-PCD=V_P-BCD
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×CD×PD×$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×BC×CD×PA
即$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{13-{x}^{2}}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴$\sqrt{13-{x}^{2}}$=2$\sqrt{4-{x}^{2}}$，解得：x=1
即當(dāng)AB的長為1時，點B到平面PCD的距離為$\frac{3}{2}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查體積公式的運用，屬于中檔題．