已知圓：，直線：．

(1)求證：直線恒過定點．

(2)判斷直線被圓截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時的值以及最短長度．

答案：略
解析：

解：(1)直線的方程經(jīng)整理得

．

由于的任意性，于是有

解此方程組，得，．

即直線恒過定點．

(2)因為直線恒經(jīng)過圓內(nèi)一點，所以(用《幾何畫板》軟件，探究容易發(fā)現(xiàn))當直線經(jīng)過圓心時被截得的弦最長，它是圓的直徑；當直線垂直于時被截得的弦長最短．

由，，可知直線的斜率為，

所以當直線被圓截得弦最短時，直線的斜率為，于是

有，解得．

此時直線的方程為，即．

又．所以，最短弦長為．

直線被圓截得的弦最短時的值是，最短長度是．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在極坐標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線4ρcosθ+3ρsinθ+a=0相切，則a=（　　）
A、2B、-9C、2或-8D、1或-9

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C與直線x-y-1=0及直線x-y-7=0都相切，且圓心在直線x+y=0上，則圓c的標準方程為
（x-2）2+（y+2）2=
9
2
（x-2）2+（y+2）2=
9
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•揭陽一模）已知圓C經(jīng)過直線2x-y+2=0與坐標軸的兩個交點，又經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點，則圓C的方程為
(x-
1
2
)2+(y-
1
2
)2=
5
2
(x-
1
2
)2+(y-
1
2
)2=
5
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題（請考生在三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系x0y中，以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C與直線l的方程分別為：ρ=2sinθ，
x=x0+
2
t
y=
2
t
（t為參數(shù)）．若圓C被直線l平分，則實數(shù)x0的值為
-1
-1
．
（B）（不等式選做題）若關于x的不等式|x-m|＜2成立的充分不必要條件是2≤x≤3，則實數(shù)m的取值范圍是
（1，4）
（1，4）
．
（C） （幾何證明選講） 如圖，割線PBC經(jīng)過圓心O，OB=PB=1，OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°到OD，連PD交圓O于點E，則PE=
3
7
7
3
7
7
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y-4=0上，則圓C的方程為（　　）

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