Question

已知數(shù)列{a_n}中，an=2np+qn（p，q為常數(shù)）
（1）若p=q=1，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）若p=1，問常數(shù)q如何取值時，使數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列？

Answer 1

分析：（1）p=q=1時，a_n=2ⁿ+n，利用分組求和的方法可求得S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）；
（2）p=1時，a_n=2ⁿ+qn，若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用則

a

2 3

=a₂•a₄可求得q，從而可得到答案．

解答：解：（1）p=q=1時，a_n=2ⁿ+n-----------------------------------（2分）
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）=

2(1-2n)

1-2

+

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2+

n(n+1)

2

，----（7分）
（2）p=1時，a_n=2ⁿ+qn，---------------------------------------------（8分）
得a₁=2+q，a₂=4+2q，a₃=8+3q，a₄=16+4q-------------------------------------（9分）
若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則

a

2 3

=a₂•a₄，-----------------------（11分）
即（8+3q）²=（4+2q）（16+4q），得q=0，--------------------------------------（13分）
此時a_n=2ⁿ，得{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴q=0---------------------------------------------（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，突出等比關(guān)系的確定與分組求和法的考查，屬于中檔題．