Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BA⊥平面PAD，AP=AD，DC∥AB，DC=2AB，E是棱
PD的中點．
（1）求證：AE∥平面PBC；
（2）求證：平面PBC⊥平面PDC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PC中點F，連結(jié)BF，EF．由三角線中位線定理得四邊形ABFE為平行四邊形，由此能證明AE∥平面PBC．
（2）由等腰三角形性質(zhì)得AE⊥PD．由AB⊥平面PAD，DC∥AB，得DC⊥AE．從而推導(dǎo)出BF⊥平面PCD．由此能證明平面PBC⊥平面PDC．

解答： 證明：（1）取PC中點F，連結(jié)BF，EF． 
因為點E、F分別為棱PD、PC的中點，
所以EF∥DC，且EF=

1

2

DC． 
又AB∥DC，且AB=

1

2

DC，所以EF∥AB，且EF=AB．
于是，四邊形ABFE為平行四邊形，故有AE∥BF．
又因為AE不包含于平面PBC，BF?平面PBC，
所以AE∥平面PBC．…（6分）
（2）在△PAD中，因為AP=AD，且E為PD的中點，
所以AE⊥PD．因為AB⊥平面PAD，DC∥AB，
所以DC⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以DC⊥AE．
因為AE⊥PD，DC⊥AE，PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．又BF∥AE，所以BF⊥平面PCD．
又因為BF?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．