Question

已知函數f （x）=
（1）判斷f （x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并證明；
（2）若關于x的方程f （x）=k有根在[2，3]內，求實數k的取值范圍；
（3）若關于x的方程f （x）=k x²有四個不同的實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當x＞0時，f （x）==
設0＜x₁＜x₂
∴
==
∵0＜x₁＜x₂
∴2（x₁-x₂）＜0，（2+x₁）（2+x₂）＞0
∴
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（0，+∞）單調遞增
（2）當x∈[2，3]時，f（x）==
∴4≤2+x≤5，
∴
∵f（x）=k在[2，3]上有解，則
（3）f（x）=kx²有四個根，即（*）有四個根
當x=0時，是方程（*）的1個根
則有3個不為0的根
而結合函數g（x）=的圖象可知滿足條件時有
∴k＞1

分析：（1）當x＞0時，f （x）==，利用單調性的定義設0＜x₁＜x₂，判定f（x₁）與f（x₂）的大小即可
（2）當x∈[2，3]時，f（x）==結合x∈[2，3]可求f（x）的范圍，若f（x）=k在[2，3]上有解，則f（x）的范圍即是k的范圍
（3）f（x）=kx²有四個根，即（*）有四個根，當x=0時，是方程（*）的1個根，則只要有3個不為0的根，而結合函數g（x）=的圖象可求
點評：本題主要考查了函數的單調性的判斷，函數值域的求解，方程的根與函數交點的相互轉化，體現了分類討論、轉化思想與數形結合思想在解題中的應用