（選修4-5：不等式選講）已知a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求證：a+2b+3c≥18．
分析：由a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，知a+2b+3c=
1
2
（
1
a
+
2
b
+
3
c
）（a+2b+3c）=
1
2
[（
2b
a
+
2a
b
）+（
3c
a
+
3a
c
）+（
6c
b
+
6b
c
）+14]，由此利用均值不等式能夠證明a+2b+3c≥18．
解答：證明：∵a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，
∴a+2b+3c
=2[
1
2
（a+2b+3c）]
=
1
2
（
1
a
+
2
b
+
3
c
）（a+2b+3c）
=
1
2
（1+
2b
a
+
3c
a
+
2a
b
+4+
6c
b
+
3a
c
+
6b
c
+9）
=
1
2
[（
2b
a
+
2a
b
）+（
3c
a
+
3a
c
）+（
6c
b
+
6b
c
）+14]
≥
1
2
（2
2b
a
•
2a
b
+2
3c
a
•
3a
c
+2
6c
b
•
6b
c
+14）
=
1
2
（4+6+12+14）=18
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí)，取等號(hào)，
故a+2b+3c≥18．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式的合理運(yùn)用，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）
已知a，b，c∈R+，且
1
a
+
2
b
+
3
c
≤|x|+|x-2|對(duì)?x∈R恒成立，求a+2b+3c的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講：
已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，求證：
a2
b2
+
b2
c2
+
c2
a2
≥
b
a
+
c
b
+
a
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題包括（1）、（2）、（3）、（4）四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)答，
若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（1）、選修4-1：幾何證明選講
如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ相交于兩點(diǎn)B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
若點(diǎn)A（2，2）在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣
（3）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
在極坐標(biāo)系中，A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動(dòng)點(diǎn)，求AB的最小值．
（4）選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知a1，a2…an都是正數(shù)，且a1•a2…an=1，求證：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，n∈N*．求證：
an+1+bn+1
an+bn
≥
ab
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐州模擬）[選修4-5：不等式選講]
已知a，b，c為正數(shù)，且滿足acos2θ+bsin2θ＜c，求證：
a
cos2θ+
b
sin2θ＜
c
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案