Question

若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：令sinθ=t，則-1≤t≤1，
要使cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，
即sin²θ-2msinθ+2m+1＞0恒成立，
設f(t)=t²-2mt+2m+1，則只要f(t)＞0在[-1，1]上恒成立即可，
由于f(t)=(t-m)²+2m+1-m²(-1≤t≤1)，
所以只要f(t)的最小值大于零即可，
若m＜-1，則當t=-1時，f(t)_min=2+4m，
令2+4m＞0，得m＞-，這與m＜-1矛盾，故舍去；
若-1≤m≤1，則當t=m時，f(t)_min=-m²+2m+1，
令-m²+2m+1＞0，解得1-＜m＜1+，
∴1-＜m≤1；
若m＞1，則當t=1時，f(t)_min=2＞0，∴m＞1；
綜上所述，m＞1-。