Question

對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:1-)為0.8,要求清洗完后的清潔度為0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(x＞a-1),用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中c(0.8＜c＜0.99)是該物體初次清洗后的清潔度.

(1)分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少.

(2)若采用方案乙,當(dāng)a為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論a取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量的影響.

Answer 1

解析:(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99.解得x=19.

由c=0.95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程=0.99,解得y=4a,故z=4a+3,

即兩種方案的用水量分別為19與4a+3,

因?yàn)楫?dāng)1≤a≤3時(shí),x-z=4(4-a)＞0,即x＞z,

故方案乙的用水量較少.

(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y,類似(1)得x=,y=a(99-100c).(*)

于是x+y=+a(99-100c)

=+100a(1-c)-a-1.

當(dāng)a為定值時(shí),x+y≥-a-1=-a+a-1.

當(dāng)且僅當(dāng)=100a(1-c)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)c=1+(不合題意,舍去),

或c=1-∈(0.8,0.99).

將c=1-代入(*)式得x=-1＞a-1,y=-a.

故c=1-時(shí)總用水量最少,此時(shí)第一次與第二次用水量分別為-1與-a,最少總用水量T(a)=--1.

當(dāng)1≤a≤3時(shí),T′(a)=-1＞0,故T(a)是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷).這說明,隨著a的值的增加,最少總用水量增加.