Question

若ln

1

m

+m≤1成立，求m取值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件知m＞0，不等式ln

1

m

+m≤1等價(jià)于m-lnm≤1，構(gòu)造函數(shù)f（m）=m-lnm，
求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)m=1時(shí)函數(shù)f（m）取最小值f（1）=1-ln1=1，即f（m）=m-lnm=ln

1

m

+m≥1，結(jié)合條件知ln

1

m

+m=1，解得可得結(jié)果．

解答： 解：由條件知m＞0，
不等式ln

1

m

+m≤1等價(jià)于m-lnm≤1，
構(gòu)造函數(shù)f（m）=m-lnm
f′（m）=1-

1

m

=

m-1

m

，由f′（m）=0得m=1
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f′（m）＜0，故f（m）在0＜m＜1時(shí)遞減；當(dāng)m＞1時(shí)，f′（m）＞0，故f（m）在0＜m＜1時(shí)遞增；
∴當(dāng)m=1時(shí)函數(shù)f（m）取最小值f（1）=1-ln1=1，∴f（m）=m-lnm=ln

1

m

+m≥1，
又∵ln

1

m

+m≤1
∴l(xiāng)n

1

m

+m=1，且只有一個(gè)根，
∴m-lnm=1
∵1-ln1=1
∴m=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，本題中取等號(hào)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．