Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的正弦值；
（3）判斷在線段B₁B上是否存在一點(diǎn)M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出

B1M

B1B

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出面AB₁D的法向量，證明

A1C

•

n

=0，即可得到結(jié)論；
（2）確定平面AB₁D的法向量、平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（3）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用則

A1M

•

B1D

=0，可得結(jié)論．

解答：（1）證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)AC=BC=BB₁=2，則A₁（2，0，2），C（0，0，0），D（0，1，0），A（2，0，0），B₁（0，2，2），B（0，2，0）
∴

A1C

=(-2，0，-2)，

AD

=(-2，1，0)，

AB1

=(-2，2，2)
設(shè)平面AB₁D的法向量為

n

=（x，y，z），則由

n • AD =0 n • AB1 =0

，可得

-2x+y=0 -2x+2y+2z=0

，故可取

n

=（1，2，-1）
∵

A1C

•

n

=0，∴A₁C∥平面AB₁D；
（2）解：由（1）知平面AB₁D的法向量為

n

=（1，2，-1），平面ABD的法向量為

m

=（0，0，2）
∴二面角B₁-AD-B的余弦值為|

m • n

| m || n |

|=|

-2

2 6

|
∴二面角B₁-AD-B的正弦值為

30

6

；
（3）解：設(shè)M（0，2，t），則

A1M

=（-2，2，t-2），

B1D

=（0，-1，-2）
若A₁M⊥B₁D，則

A1M

•

B1D

=0，∴-2-2（t-2）=0，∴t=1
∴

B1M

B1B

=

1

2

時(shí)，A₁M⊥B₁D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，屬于中檔題．