Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx（a為常數(shù)）．
（1）若a=-4，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若a≥-4，求f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x的值；
（3）若對(duì)任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-4lnx（x＞0），f'（x）=2x-
∴當(dāng)x∈（0，時(shí)，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈[，+∞），f（x）是增函數(shù)．
（2）a≥-4時(shí)，f（x）=x²+alnx，x∈[1，e]，f'（x）=．
若a≥-2，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上遞增，
則當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最小值f（1）=1；
若-4≤a＜-2，f（x）在[1，]遞減，在[，e]上遞增，
則當(dāng)x=時(shí)，f（x）取最小值f（）=-+aln（-）．
（3）對(duì)x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，
即x²+alnx≤（a+2）x，
即a（x-lnx）≥x²-2x，
而x∈[1，e]，x＞lnx，
故，記，x∈[1，e]，≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）
∴
∴所求a的取值范圍是[，+∞]．
分析：（1）將a=-4代入，我們易得到函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可分析出f（x）的單調(diào)性；
（2）若a≥-4，我們對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，易確定出函數(shù)f（x）在[1，e]上的單調(diào)性，進(jìn)而可以求出f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x的值；
（3）若對(duì)任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，即a（x-lnx）≥x²-2x，構(gòu)造函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)恒成立問(wèn)題，由此求出函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)研究函數(shù)的極值，求不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立，往往要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得到答案．