Question

能夠把圓O：x²+y²=16的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓O的“和諧函數”，下列函數不是圓O的“和諧函數”的是（　�。�

• A．f（x）=4x³+x
• B．f(x)=1n

  5-x

  5+x

• C．f(x)=tan

  x

  2

• D．f（x）=e^x+e^-x

Answer 1

分析：由“和諧函數”的定義及選項知，該函數若為“和諧函數”，其函數須為過原點的奇函數，由此逐項判斷即可得到答案．

解答：解：由“和諧函數”的定義知，若函數為“和諧函數”，則該函數為過原點的奇函數．
A中，f（0）=0，且f（x）為奇函數，故f（x）=4x³+x為“和諧函數”；
B中，f（0）=ln

5-0

5+0

=ln1=0，且f（-x）=ln

5+x

5-x

=ln(

5-x

5+x

)-1=-ln

5-x

5+x

=f（x），所以f（x）為奇函數，
所以f（x）=ln

5-x

5+x

為“和諧函數”；
C中，f（0）=tan0=0，且f（-x）=tan

-x

2

=-tan

x

2

=f（x），f（x）為奇函數，
故f（x）=tan

x

2

為“和諧函數”；
D中，f（0）=e⁰+e^-0=2，所以f（x）=e^x+e^-x的圖象不過原點，故f（x））=e^x+e^-x不為“和諧函數”；
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，考查學生對新問題的分析理解能力及解決能力，屬中檔題．