Question

9．已知a∈R，討論函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0）的單調(diào)性（寫出過程）．

Answer 1

分析 利用單調(diào)性的定義，進(jìn)行作差，對a的值進(jìn)行討論，即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0），
設(shè)x₁＞x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）（1-$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
當(dāng)a＞0時，若0＜x₂＜x₁≤$\sqrt{a}$，則恒有$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞1，
此時f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)；
若x₁＞x₂≥$\sqrt{a}$，則恒有0＜$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜1，
此時f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a≤0時，x₁-x₂＞0，1-$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
此時f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
綜上，a＞0時，f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明問題，作差法是證明和判斷單調(diào)性的最常用方法，是基礎(chǔ)題目．