Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）求證：BC⊥面MDC
（2）求證：CN∥平面AMD；
（3）求面AMN與面NBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的性質(zhì)可得MD⊥BD，結(jié)合MD⊥CD及線面垂直的判定定理可得BC⊥面MDC
（2）證明線面平行只要證明面面平行，即證明一個平面內(nèi)的兩個相交直線分別于另一個平面平行．
（3）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立直角坐標(biāo)系，分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：證明：（1）∵M(jìn)D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴MD⊥BC
∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，
∴BC⊥CD
又∵M(jìn)D∩CD=D
∴BC⊥面MDC
（2）∵ABCD是正方形，BC∥AD，
∴BC∥平面AMD；
又因為MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
∴平面BNC∥平面AMD，
∴CN∥平面AMD；
解：（3）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DM分別為x，y，z軸建立圖示空間直角坐標(biāo)系，
則：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）．N（1，1，1），M（0，0，1），
所以

AM

=（-1，0，1），

AN

=（0，1，1），

AB

=（0，1，0）
設(shè)平面AMN的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由

AM • n =0 AN • n =0

得：

-x+z=0 y+z=0

令z=1得：

n

=（1，-1，1）．
易知：

AB

=（0，1，0）是平面NBC的一個法向量．
所以cos＜

AB

，

n

＞=

-1

3

=-

3

3

，
∴面AMN與面NBC所成二面角的余弦值為

3

3

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征得到空間中的線面關(guān)系，進(jìn)而建立坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)運算解決空間角、空間距離與體積等問題．