Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意x∈（0，+∞），恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）[－2，＋∞)

【解析】試題分析：（1）先求出其導函數(shù)，再讓其導函數(shù)大于0對應區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）

（2）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx﹣x﹣恒成立，對不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）f′（x）=lnx+1，

令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）

令f'（x）＞0得：，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由題意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，

∴a≥lnx﹣x﹣恒成立 ①

設h（x）=lnx﹣﹣，則h′（x）=﹣=﹣

令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）

當0＜x＜1時，h′（x）＞0；

當x＞1時，h'（x）＜0

∴當x=1時，h（x）有最大值﹣2

若①恒成立，則a≥﹣2，

即a的取值范圍是[﹣2，+∞）．