Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并判斷是否有極值；
（2）若對任意的x＞1，恒有l(wèi)n（x-1）+k+1≤kx成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為k≥f（x-1）_max對任意的x＞1恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$，（x＞0），
$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，…（1分）
即x∈（0，1），f'（x）＞0，
當x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
在x=1處取得極大值，極大值為f（1）=1，無極小值．…（6分）
（2）因為ln（x-1）+k+1≤kx，
$⇒ln（x-1）+1≤k（x-1）⇒\frac{ln（x-1）+1}{x-1}≤k$，
k≥f（x-1）_max對任意的x＞1恒成立，
由（1）知f（x）_max=f（1）=1，
則有f（x-1）_max=1，
所以k≥1．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．