Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P與點(diǎn)Q均在橢圓C上，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，問：橢圓上是否存在點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限），使得△PQM為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）列方程組解出a，b；
（2）設(shè)PQ方程為y=kx，則OM方程為y=-$\frac{1}{k}$x，聯(lián)立方程組解出P，Q，M的坐標(biāo)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程組求出k即可得出M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵橢圓過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）假設(shè)橢圓上是否存在點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限），使得△PQM為等邊三角形，
設(shè)直線PQ的方程為y=kx，則直線OM的方程為y=-$\frac{1}{k}$x．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$得P（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），Q（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
同理可得M（$\frac{2|k|}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$）．
∴|OP|=$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$，|OM|=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+4}{4+{k}^{2}}}$．
∵△PQM為等邊三角形，∴|OM|=$\sqrt{3}$|OP|，
∴$\frac{4{k}^{2}+4}{4+{k}^{2}}$=$\frac{12+12{k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$，解得k=$±\sqrt{11}$．
M（$\frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{15}}$，$\frac{2}{\sqrt{15}}$），即M（$\frac{2\sqrt{165}}{15}$，$\frac{2\sqrt{15}}{15}$）．

點(diǎn)評 本題考了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．