Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，過定點M（0，-$\frac{1}{3}$） 的直線l交橢圓$\frac{x^2}{2}$+y²=1于P，Q兩點，則以PQ為直徑的圓恒過x軸上方的定點（　　）

• A． （-1，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （1，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 設(shè)A點坐標(biāo)，將直線PQ的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得A點坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)A（s，t），設(shè)直線PQ的方程：y=kx-$\frac{1}{3}$，k≠0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{1}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-$\frac{2kx}{3}$-$\frac{16}{9}$=0，
則x₁+x₂=$\frac{2k}{3（1+2{k}^{2}）}$，x₁x₂=-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$，
由∠PAQ=90°，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，
∴（x₁-s，y₁-t）（x₂-s，y₂-t）=0，
則（x₁-s）（x₂-s）+（kx₁-$\frac{1}{3}$-t）（kx₂-$\frac{1}{3}$-t）=0，
則（1+k²）x₁x₂-（s-$\frac{1}{3}$k+kt）（x₁+x₂）+s²+（t+$\frac{1}{3}$）²=0，
整理得：（-2+2s²+2t²）k²-$\frac{4sk}{3}$-$\frac{16}{9}$+（t+$\frac{1}{3}$）²=0，
由k∈R，則$\left\{\begin{array}{l}{-2+2{s}^{2}+2{t}^{2}=0}\\{-\frac{4s}{3}=0}\\{-\frac{16}{9}+（t+\frac{1}{3}）^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{s=0}\\{t=1}\end{array}\right.$，
則A（0，1），
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，直線PQ為短軸的端點，則且過點A（0，1）．
∴以PQ為直徑的圓恒過x軸上方的定點A（0，1），
故選C．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．