（強(qiáng)化班）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過（1，1）與(
6
2
，
3
2
)兩點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
為定值；
（3）是否存在定圓，使得直線l繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，AM恒與該定圓相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．
分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，把點(diǎn)（1，1）與(
6
2
，
3
2
)代入橢圓方程解出即可；
（2）根據(jù)條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，同時A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱．
若A，B在橢圓的短軸頂點(diǎn)上，則點(diǎn)M在橢圓的長軸頂點(diǎn)上．容易得出
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
=
1
b2
+
1
b2
+
2
a2
=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點(diǎn)，不妨設(shè)A(x1，kx1)，M(x2，-
1
k
x2)，代入橢圓方程可得
x
2
1
=
3
1+2k2
，同樣得出結(jié)論．
（3）根據(jù)對稱性，如果圓存在，則圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)（2）當(dāng)A，B，M不在橢圓的頂點(diǎn)上時，不妨設(shè)A(x1，kx1)，M(x2，-
1
k
x2)，
則直線AM的方程為y-kx1=
kx1+
1
k
x2
x1-x2
(x-x1)，利用點(diǎn)到直線的距離公式證明原點(diǎn)到直線l的距離為定值即可．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，把點(diǎn)（1，1）與(
6
2
，
3
2
)代入橢圓方程可得
m+n=1
3
2
m+
3
4
n=1
，解得
m=
1
3
n=
2
3
．
故橢圓方程為
x2
3
+
2y2
3
=1．
（2）根據(jù)條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，
同時A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱．
若A，B在橢圓的短軸頂點(diǎn)上，則點(diǎn)M在橢圓的長軸頂點(diǎn)上．
這時
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
=
1
b2
+
1
b2
+
2
a2
=2(
1
a2
+
1
b2
)=2(
1
3
+
2
3
)=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點(diǎn)，
不妨設(shè)A(x1，kx1)，M(x2，-
1
k
x2)，
代入橢圓方程得
x
2
1
3
+
2
3
(kx1)2=1，
解得
x
2
1
=
3
1+2k2
，
所以OA2=OB2=(1+k2)
3
1+2k2
=
3(1+k2)
1+2k2
．
同時可得|OM|2=
3(1+
1
k2
)
1+2×
1
k2
=
3(1+k2)
k2+2
，
∴
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
=
2(1+2k2)
3(1+k2)
+
2(k2+2)
3(1+k2)
=
2(3k2+3)
3(1+k2)
=2
綜上可知：不論A，B位置如何，總有
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
=2．
（3）根據(jù)對稱性，如果圓存在，則圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，
根據(jù)（2）當(dāng)A，B，M不在橢圓的頂點(diǎn)上時，
不妨設(shè)A(x1，kx1)，M(x2，-
1
k
x2)，
則直線AM的方程為y-kx1=
kx1+
1
k
x2
x1-x2
(x-x1)，
化為一般式為(kx1+
1
k
x2)x-(k+
1
k
)x1x2=0，
原點(diǎn)O到直線AM的距離為d=
|(k+
1
k
)x1x2|
(kx1+
1
k
x2)2+(x1-x2)2
=
[(k+
1
k
)x1x2]2
(kx1+
1
k
x2)2+(x1-x2)2

由（2）可得
x
2
1
=
3
1+2k2
，
x
2
2
=
3k2
k2+2
，代入上式化簡可得d=1．
又A，B，M落在橢圓的頂點(diǎn)上時，可得原點(diǎn)到AM的距離d=
OA•OM
AM
=
ab
a2+b2
=1
綜上，不論直線l如何轉(zhuǎn)動，原點(diǎn)到直線AM的距離始終為1，
∴存在定圓x2+y2=1，使得直線l繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，AM恒與該圓相切．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得出其交點(diǎn)坐標(biāo)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．
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