Question

選做題（請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按做的第一題評(píng)閱計(jì)分）
（1）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，r＞0）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．當(dāng)圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為4時(shí)，圓的半徑r=________．
（2）（不等式）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立時(shí)，若實(shí)數(shù)a的最大值為3，則實(shí)數(shù)m的值為________．

Answer 1

解：（1）圓的直角坐標(biāo)方程為（x+）²+（y+）²=r²，
圓心的直角坐標(biāo)（-，-）．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=1即為x+y-=0，
圓心O（-，-）到直線的距離d=．
圓O上的點(diǎn)到直線的最大距離為 3+r=4，解得r=1．
（2）解：（1）設(shè)f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+|+|x-1|，
當(dāng)≥-1時(shí)，
則有f（x）=，
其圖象如圖所示，當(dāng)x=-時(shí)，取得最小值f（-）=+1；
當(dāng)＜-1時(shí)，
則有f（x）=，
當(dāng)x=-時(shí)，取得最小值f（-）=；
由題意，若實(shí)數(shù)a的最大值為3，則+1=3或=3，
∴m=4或m=-8．
∴實(shí)數(shù)m的值為 4或-8
故答案為：1；4或-8．
分析：（1）將直線和圓的方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線和圓的位置關(guān)系求解．
（2）要使不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立，需f（x）=|2x+m|+|x-1|的最小值大于或等于a，問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值，從而解決問題．
點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程互化、絕對(duì)值不等式的解法，以及恒成立問題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．