Question

已知橢圓C：+y²=1的左右焦點分別為F₁，F₂，過F的值線l交橢圓C于A、B兩點，過F₂且平行于l的直線l₁交橢圓C與M、N兩點．
（1）求△ABF₂的周長；
（2）求△ABM面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由橢圓的定義可得△ABF₂的周長=|AB|+AF₂|+|BF₂|=4a=8；
（2）設直線l的傾斜角為θ，當θ≠時，l：y=tanθ（x+），l₁：y=tanθ（x-）
點M到直線l的距離即為兩條平行線間的距離：d=2sinθ
∵=
∴S_△ABM==≤=2
當且僅當sinθ=時，取等號
當θ=時，|AB|=1，d=2，此時
∴△ABM面積的最大值為2．
分析：（1）由橢圓的定義可得△ABF₂的周長；
（2）設直線l的傾斜角為θ，當θ≠時，求出點M到直線l的距離即為兩條平行線間的距離，|AB|，計算三角形的面積，利用基本不等式求最值；當θ=時，|AB|=1，d=2，此時，由此可得△ABM面積的最大值．
點評：本題考查橢圓的定義，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．