Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足以下兩個條件：（1）對?x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立；（2）當(dāng)x＜0時，（x²+2x）f'（x）≥0
則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）
A．f（-1）≤f（0）
B．f（-2）≤f（-3）
C．f（2）≥f（0）
D．f（1）≥f（2）

Answer 1

【答案】分析：利用奇函數(shù)的定義判斷出f（x）是奇函數(shù)，通過解二次不等式判斷出x²+2x的符號，從而得到導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號，判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用f（x）的單調(diào)性判斷出A，B錯；利用f（x）的單調(diào)性與奇函數(shù)判斷出C錯D對．
解答：解：∵對?x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立
∴f（x）為奇函數(shù)
∵當(dāng)x＜-2時，x²+2x＞0；當(dāng)-2＜x＜0時，x²+2x＞0
又∵當(dāng)x＜0時，（x²+2x）f'（x）≥0
∴當(dāng)x＜-2時，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）遞增或為常函數(shù)；當(dāng)-2＜x＜0時，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）遞減或為常函數(shù)
∴f（-1）≥f（0），故A錯
f（-2）≥f（-3），故B錯
f（-2）≥f（0）即-f（2）≥f（0）即f（2）≤f（0），故C錯
f（-1）≤f（-2）即-f（1）≤-f（2）即f（1）≥f（2）故D對
故選D．
點評：判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)該利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義；利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為正，函數(shù)遞增；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減．