Question

已知圓錐的底面半徑r=2，半徑OM與母線SA垂直，N是SA中點，NM與高SO所成的角為α，且tanα=2
（1）求圓錐的體積；
（2）求M，N兩點在圓錐側(cè)面上的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)OA中點C，連接NC、CM，利用直線與平面所成角的定義得∠MNC即為NM與高SO所成的角α再結(jié)合條件解三角形得出高長，最后利用錐體體積公式求得圓錐的體積；
（2）最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題．需先算出圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑．看如何構(gòu)成一個三角形，然后根據(jù)余弦定理進行計算．
解答：解：（1）設(shè)OA中點C，連接NC、CM，則NC∥SO，
故∠MNC即為NM與高SO所成的角α，（2分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（4分）
又，即，（5分）
從而圓錐的體積（7分）
（2）作圓錐的側(cè)面展開圖，線段MN即為所求最短距離．（8分）
由已知OM⊥SO，OM⊥SA⇒OM⊥OA，
故M是弧AB的中點，即M是扇形弧的點．（10分）
因為扇形弧長即為圓錐底面周長4π，
由（1）知，所以母線SA=3，
從而扇形的中心角為，所以（12分）
在三角形MSA中，由余弦定理得（14分）
點評：本題考查了求圓錐的體積、多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，主要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直角三角形、題中的條件，求出錐體的母線長和高，進而求出對應(yīng)的值，考查了分析和解決問題的能力．本題需注意最短距離的問題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題．