Question

如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A、B兩點(diǎn)，P在圓O上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過P作直線l₁，OS垂直于l₁交直線l₂：x=-3于點(diǎn)S．
（1）求證：“如果直線l₁過點(diǎn)T（-1，0），那么”為真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），則x²+y²=2，當(dāng)x=-1時(shí)，求出S的坐標(biāo)，化簡•的解析式．當(dāng)x≠-1時(shí)，求出S的坐標(biāo)，
化簡•的解析式．
（2）先寫出逆命題，設(shè)S（-3，t），P（x，y）（y≠0），由•=1，及x²+y²=2，得出．
當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)，直線l₁的方程知過點(diǎn)（-1，0）；當(dāng)x≠-1時(shí)，由直線l₁的方程知過點(diǎn)（-1，0）．
解答：證明：（1）設(shè)P（x，y）（y≠0），則x²+y²=2．當(dāng)x=-1時(shí)，
∵直線l₁過點(diǎn)T（-1，0），∴S（-3，0），即，
∴²=1．
當(dāng)x≠-1時(shí)，∵直線l₁過點(diǎn)T（-1，0），∴直線l₁的斜率k₁=，
∴直線OS的斜率k=-，其方程為 y=-x，
∴，即．
∴=-3x-x²+3x+3-y²=3-2=1．
故“如果直線l₁過點(diǎn)T（-1，0），那么=1”為真命題．

（2）逆命題為：如果=1，那么直線l₁過點(diǎn)T（-1，0）．逆命題也為真命題，以下給出證明：
設(shè)S（-3，t），P（x，y）（y≠0），則，
∵=1，∴-3x-x²+ty-y²=1，又x²+y²=2，
∴t=．當(dāng)x=-1時(shí)，直線l₁的方程為x=-1，顯然過點(diǎn)（-1，0）；
當(dāng)x≠-1時(shí)，直線OS的斜率k=，∴直線l₁的方程為y-y=，令y=0，得x=-1，
∴直線l₁過定點(diǎn)（-1，0）．綜上，直線l₁恒過定點(diǎn)（-1，0）．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，四種命題的真假關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及求兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．